整数二分算法

news/2025/2/26 0:08:22

例题：

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000范围内），表示完整数组。接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

算法模板：

整数二分的本质不是单调性，只要可将区间依据是否满足某种性质一分为二，就可以用二分


bool check(int x) {} //检查x是否满足某种性质

//区间[l, r]被划分为[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r) {
    while (l < r) {
    	int mid = (l + r) >> 1;
    	if (check(mid)) r = mid;
    	else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

//区间[l, r]被划分为[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = (l + r + 1) >> 1; //因为整数/2存在向下取整问题，如果这里不加1，更新时会出现l = mid = l的情况【如l = r - 1时】会陷入死循环 
		if (check(mid)) l = mid; 
		else r = mid - 1;
	}
	return l;
}

区间如何更新？

参考题解

/*整数二分算法*/
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main () {
	int n, q; //数组长度和询问个数
	cin >> n >> q;
	
	vector<int> array (n);
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> array[i];
	}
	
	while(q--) {
		int query;
		cin >> query;
		
		int l = 0, r = n - 1;
		while(l < r) {
			int mid = (l + r) >> 1;
			if(array[mid] >= query) { //找起始位置时，将性质定义为>=x 
				r = mid;
			}else {
				l = mid + 1;
			}
		}
		
		if(array[l] != query) {
			cout << "-1 -1" << '\n';
			continue; 
		}
		
		cout << l << ' ';
		
		l = 0, r = n - 1;
		while(l < r) {
			int mid = (l + r + 1) >> 1;
			if(array[mid] <= query) { //找结束位置时，将性质定义为<=x 
				l = mid;
			}else {
				r = mid - 1;
			}
		}
		
		cout << l << '\n';
	}
	return 0;
}